Соразмерны ли следующие определения остроугольным треугольником. Что такое треугольник

Треугольники

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки -- его сторонами.

Виды треугольников

Треугольник называется равнобедренным, если у него две сторны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

Треугольник, у которого все сторны равны, называется равносторонним или правильным.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.

Треугольник называется остроугольным, если все три его угла - острые, то есть меньше 90°.

Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов - тупой, то есть больше 90°.

Основные линии треугольника

Медиана

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Свойства медиан треугольника

Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Биссектриса

Биссектриса угла - это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрис треугольника

Высота

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

Свойства высот треугольника

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.

В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

Срединный перпендикуляр

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром к отрезку.

Свойства серединных перпендикуляров треугольника

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника .

Средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Формулы и соотношения

Признаки равенства треугольников

Два треугольника равны, если у них соответственно равны:

две стороны и угол между ними;

два угла и прилежащая к ним сторона;

три стороны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны:

гипотенуза и острый угол;

катет и противолежащий угол;

катет и прилежащий угол;

два катета ;

гипотенуза и катет .

Подобие треугольников

Два треугольника подобны, если выполняется одно из следующих условий, называемых признаками подобия:

два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника;

две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны;

три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты , медианы , биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности :

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos

Формулы площади треугольника

Произвольный треугольник

a, b, c - стороны; - угол между сторонамиa и b ;- полупериметр;R - радиус описанной окружности; r - радиус вписанной окружности; S - площадь; h a - высота, проведенная к стороне a .

Треугольник - это многоугольник с 3-мя сторонами (либо 3-мя углами). Стороны треугольника нередко обозначаются малеханькими буквами, которые соответствуют большим буквам, обозначающим обратные вершины.

Остроугольным треугольником именуется треугольник, у которого все три угла острые.

Тупоугольным треугольником именуется треугольник, у которого один из углов тупой.

Прямоугольным треугольником именуется треугольник, у которого один из углов прямой, другими словами равен 90°; стороны a, b, образующие прямой угол, именуются катетами ; сторона c, обратная прямому углу, именуется гипотенузой .

Равнобедренным треугольником именуется треугольник, у которого две его стороны равны (a = c); эти равные стороны именуются боковыми , 3-я сторона именуется основанием треугольника .

Равносторонним треугольником именуется треугольник, у которого все его стороны равны (a = b = c). В том случае в треугольнике не равна ни одна из его сторон (abc), то это неравносторонний треугольник .

Главные характеристики треугольников

В любом треугольнике:

Против большей стороны лежит больший угол, и напротив.

Против равных сторон лежат равные углы, и напротив. А именно, все углы в равностороннем треугольнике равны.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Продолжая одну из сторон треугольника, получаем наружный угол. Наружный угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним.

Неважно какая сторона треугольника меньше суммы 2-ух других сторон и больше их разности (a b - c; b a - c; c a - b).

Признаки равенства треугольников

Треугольники равны, в том случае у их соответственно равны:

две стороны и угол меж ними;

два угла и прилегающая к ним сторона;

три стороны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника равны, в том случае производится одно из последующих критерий:

равны их катеты;

катет и гипотенуза 1-го треугольника равны катету и гипотенузе другого;

гипотенуза и острый угол 1-го треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;

катет и прилежащий острый угол 1-го треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;

катет и противолежащий острый угол 1-го треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из хоть какой вершины на обратную сторону (либо её продолжение). Эта сторона именуется основанием треугольника . Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, именуемой ортоцентром треугольника .

Ортоцентр остроугольного треугольника размещен снутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника - снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с верхушкой прямого угла.

Медиана - это отрезок, соединяющий всякую верхушку треугольника с серединой обратной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, всегда лежащей снутри треугольника и являющейся его центром масс. Эта точка разделяет каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса - это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки скрещения с обратной стороной. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, всегда лежащей снутри треугольника и являющейся центром вписанного круга. Биссектриса разделяет обратную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам.

Срединный перпендикуляр - это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанного круга.

В остроугольном треугольнике эта точка лежит снутри треугольника, в тупоугольном - снаружи, в прямоугольном - посреди гипотенузы. Ортоцентр, центр масс, центр описанного и центр вписанного круга совпадают исключительно в равностороннем треугольнике.

Аксиома Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Подтверждение аксиомы Пифагора

Построим квадрат AKMB, используя гипотенузу AB как сторону. Потом продолжим стороны прямоугольного треугольника ABC так, чтоб получить квадрат CDEF, сторона которого равна a + b. Сейчас ясно, что площадь квадрата CDEF равна (a + b) 2. С иной стороны, эта площадь равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников и квадрата AKMB, другими словами,

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

c 2 + 2 ab = (a + b) 2,

и совсем имеем:

c 2 = a 2 + b 2 .

Соотношение сторон в случайном треугольнике

В общем случае (для случайного треугольника) имеем:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,

где С - угол меж сторонами а и b.

school-club.ru - какие бывают треугольники?

math.ru - виды треугольников;

raduga.rkc-74.ru - все о треугольниках для самых малеханьких.

Дополнительно на сайт:

Как классифицируются треугольники?

Как отыскать площадь треугольника?

Как отыскать площадь прямоугольного треугольника?

Как отыскать радиус вписанной в треугольник окружности?

Как отыскать радиус описанной вокруг треугольника окружности?

Как доказать аксиому косинусов?

Треугольник - определение и общие понятия

Треугольник – это такой простой многоугольник, состоящий из трех сторон и имеющий столько же углов. Его плоскости ограничиваются 3 точками и 3 отрезками, попарно соединяющими даные точки.

Все вершины любого треугольника, независимо от его разновидности, обозначаются заглавными латинскими буквами, а его стороны изображаются соответствующими обозначениями противоположных вершин, только не большими буквами, а малыми. Так, например, треугольник с вершинами обозначенными буквами А, В и С имеет стороны a, b, c.

Если рассматривать треугольник в евклидовом пространстве, то это такая геометрическая фигура, которая образовалась с помощью трех отрезков, соединяющих три точки, которые не лежат на одной прямой.

Посмотрите внимательно на рисунок, который изображен вверху. На нем точки А, В и С являются вершинами этого треугольника, а его отрезки носят названия сторон треугольника. Каждая вершина этого многоугольника образует внутри его углы.

Виды треугольников

Согласно величины, углов треугольников, они делятся на такие разновидности, как: Прямоугольные;
Остроугольные;
Тупоугольные.

К прямоугольным принадлежат такие треугольники, у которых в наличии есть один прямой угол, а остальные два имеют острые углы.

Остроугольные треугольники – это те, у которых все его углы острые.

А если у треугольника имеется один тупой угол, а два остальных угла острые, то такой треугольник относится к тупоугольным.

Каждый из вас прекрасно понимает, что не все треугольники имеют равные стороны. И соответственно тому, какую длину имеют его стороны, треугольники можно поделить на:

Равнобедренные;
Равносторонние;
Разносторонние.

Задание: Нарисуйте разные виды треугольников. Дайте им определение. Какое между ними отличие вы видите?

Основные свойства треугольников

Хотя эти простые многоугольники могут отличаться друг от друга величиной углов или сторон, но в каждом треугольнике есть основные свойства, характерны для этой фигуры.

В любом треугольнике:

Общая сумма всех его углов равняется 180º.
Если он принадлежит к равносторонним, то каждый его угол равен 60º.
Равносторонний треугольник имеет одинаковые и ровные между собой углы.
Чем меньше сторона многоугольника, тем меньший угол расположен напротив него и наоборот напротив большей стороны находиться больший угол.
Если стороны равные, то напротив них расположены равные углы, и наоборот.
Если взять треугольник и продлить его сторону, то в итоге мы образуется внешний угол. Он равен сумме внутренних углов.
В любом треугольнике его сторона, независимо от того, какую бы вы не выбрали, все равно будет меньше, чем сумма 2-х других сторон, но больше чем их разность:

1. a < b + c, a > b – c;
2. b < a + c, b > a – c;
3. c < a + b, c > a – b.

Задание

В таблице приведены уже известные два угла треугольника. Зная общую сумму всех углов найдите, чему равен третий угол треугольника и занесите в таблицу:

1. Сколько градусов имеет третий угол?
2. К какому виду треугольников он относится?

Признаки равности треугольников

I признак

II признак

III признак

Высота, биссектриса и медиана треугольника

Высота треугольника - перпендикуляр, проведенный из вершины фигуры к его противоположной стороне, называется высотой треугольника. Все высоты треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения всех 3-х высот треугольника является его ортоцентром.

Отрезок, проведенный из данной вершины и соединяющий ее на средине противоположной стороны, является медианой. Медианы, также как и высоты треугольника, имеют одну общую точку пересечения, так называемый центр тяжести треугольника или центроид.

Биссектриса треугольника - отрезок, соединяющий вершину угла и точку противоположной стороны, а также делящий этот угол пополам. Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которую называют центром окружности, вписанной в треугольник.

Отрезок, который соединяет середины 2-х сторон треугольника, называется средней линией.

Историческая справка

Такая фигура, как треугольник, была известна еще в Древние времена. Об этой фигуре и ее свойствах упоминалось на египетских папирусах четырех тысячелетней давности. Немного позже, благодаря теореме Пифагора и формуле Герона, изучение свойства треугольника, перешло на более высокий уровень, но все же, это происходило более двух тысяч лет назад.

В XV – XVI веках стали проводить много исследований о свойствах треугольника и в итоге возникла такая наука, как планиметрия, которая получила название «Новая геометрия треугольника».

Ученый из России Н. И.Лобачевский внес огромный вклад в познание свойств треугольников. Его труды в дальнейшем нашли применение как в математике, так и физике и кибернетике.

Благодаря знаниям свойств треугольников возникла и такая наука, как тригонометрия. Она оказалась необходимой для человека в его практических потребностях, так как ее применение просто необходимо при составлении карт, измерении участков, да и при конструировании различных механизмов.

А какой самый известный треугольник вы знаете? Это конечно же Бермудский треугольник! Он получил такое название в 50-х годах из-за географического расположения точек (вершин треугольника), внутри которых, согласно существующей теории, возникали связанные с ним аномалии. Вершинами Бермудского треугольника выступают Бермудские острова, Флорида и Пуэрто-Рико.

Задание: А какие теории о Бермудском треугольнике слышали вы?

А известно ли вам, что в теории Лобачевского при сложении углов треугольника их сумма всегда имеет результат меньший, чем 180º. В геометрии Римана, сумма всех углов треугольника больше 180º, а в трудах Эвклида она равна 180 градусам.

Домашнее задание

Решите кроссворд на заданную тему

Вопросы к кроссворду:

1. Как называется перпендикуляр, который провели из вершины треугольника к прямой, расположенной на противоположной стороне?
2. Как, одним словом можно назвать сумму длин сторон треугольника?
3. Назовите треугольник, у которого две стороны равны?
4. Назовите треугольник, у которого есть угол, равный 90°?
5. Какое название носит большая, из сторон треугольника?
6. Название стороны равнобедренного треугольника?
7. Их всегда три в любом треугольнике.
8. Какое название носит треугольник, у которого один из углов превышает 90°?
9. Название отрезка, соединяющего вершину нашей фигуры со срединой противоположной стороны?
10. В простом многоугольнике АВС, заглавная буква А является …?
11. Какое название носит отрезок, делящий угол треугольника пополам.

Вопросы к теме треугольников:

1. Дайте определение.
2. Сколько высот он имеет?
3. Сколько биссектрис у треугольника?
4. Чему равна его сумма углов?
5. Какие виды этого простого многоугольника вам известны?
6. Назовите точки треугольников, которые носят название замечательных.
7. Каким прибором можно измерить величину угла?
8. Если стрелки часов показывают 21 час. Какой угол образуют часовые стрелки?
9. На какой угол поворачивается человек, если ему дана команда «налево», «кругом»?
10. Какие еще определения вам известны, которые связанные с фигурой, имеющей три угла и три стороны?

Предмети > Математика > Математика 7 класс

Выберите рубрику Книги Математика Физика Контроль и управления доступом Пожарная безопасность Полезное Поставщики оборудования Cредства измерений (КИП) Измерение влажности — поставщики в РФ. Измерение давления. Измерение расходов. Расходомеры. Измерение температуры Измерение уровней. Уровнемеры. Бестраншейные технологии Канализационные системы. Поставщики насосов в РФ. Ремонт насосов. Трубопроводная арматура. Затворы поворотные (дисковые затворы). Обратные клапаны. Регулирующая арматура. Фильтры сетчатые, грязевики, магнито-механические фильтры. Шаровые краны. Трубы и элементы трубопроводов. Уплотнения резьб, фланцев и т.д. Электродвигатели, электроприводы… Руководство Алфавиты, номиналы, единицы, коды… Алфавиты, в т.ч. греческий и латинский. Символы. Коды. Альфа, бета, гамма, дельта, эпсилон… Номиналы электрических сетей. Перевод единиц измерения Децибел. Сон. Фон. Единицы измерения чего? Единицы измерения давления и вакуума. Перевод единиц измерения давления и вакуума. Единицы измерения длины. Перевод единиц измерения длины (линейного размера, расстояний). Единицы измерения объема. Перевод единиц измерения объема. Единицы измерения плотности. Перевод единиц измерения плотности. Единицы измерения площади. Перевод единиц измерения площади. Единицы измерения твердости. Перевод единиц измерения твердости. Единицы измерения температуры. Перевод единиц температур в шкалах Кельвина (Kelvin) / Цельсия (Celsius) / Фаренгейта (Fahrenheit) / Ранкина (Rankine) / Делисле (Delisle) / Ньютона (Newton) / Реамюрa Единицы измерения углов ("угловых размеров"). Перевод единиц измерения угловой скорости и углового ускорения. Стандартные ошибки измерений Газы различные как рабочие среды. Азот N2 (хладагент R728) Аммиак (холодильный агент R717). Антифризы. Водород H^2 (хладагент R702) Водяной пар. Воздух (Атмосфера) Газ природный — натуральный газ. Биогаз — канализационный газ. Сжиженный газ. ШФЛУ. LNG. Пропан-бутан. Кислород O2 (хладагент R732) Масла и смазки Метан CH4 (хладагент R50) Свойства воды. Угарный газ CO. Монооксид углерода. Углекислый газ CO2. (Холодильный агент R744). Хлор Cl2 Хлороводород HCl, он же — Cоляная кислота. Холодильные агенты (хладагенты). Хладагент (холодильный агент) R11 — Фтортрихлорметан (CFCI3) Хладагент (Холодильный агент) R12 — Дифтордихлорметан (CF2CCl2) Хладагент (Холодильный агент) R125 — Пентафторэтан (CF2HCF3). Хладагент (Холодильный агент) R134а — 1,1,1,2-Тетрафторэтан (CF3CFH2). Хладагент (Холодильный агент) R22 — Дифторхлорметан (CF2ClH) Хладагент (Холодильный агент) R32 — Дифторметан (CH2F2). Хладагент (Холодильный агент) R407С — R-32 (23%)/ R-125 (25%)/ R-134a (52%)/ Проценты по массе. другие Материалы — тепловые свойства Абразивы — зернистость, мелкость, шлифовальное оборудование. Грунты, земля, песок и другие породы. Показатели разрыхления, усадки и плотности грунтов и пород. Усадка и разрыхление, нагрузки. Углы откоса, отвала. Высоты уступов, отвалов. Древесина. Пиломатериалы. Лесоматериалы. Бревна. Дрова… Керамика. Клеи и клеевые соединения Лед и снег (водяной лед) Металлы Алюминий и сплавы алюминия Медь, бронзы и латуни Бронза Латунь Медь (и классификация медных сплавов) Никель и сплавы Соответствие марок сплавов Стали и сплавы Cправочные таблицы весов металлопроката и труб. +/-5% Вес трубы. Вес металла. Механические свойства сталей. Чугун Минералы. Асбест. Продукты питания и пищевое сырье. Свойства и пр. Ссылка на другой раздел проекта. Резины, пластики, эластомеры, полимеры. Подробное описание Эластомеров PU, ТPU, X-PU, H-PU, XH-PU, S-PU, XS-PU, T-PU, G-PU (CPU), NBR, H-NBR, FPM, EPDM, MVQ, TFE/P, POM, PA-6, TPFE-1, TPFE-2, TPFE-3, TPFE-4, TPFE-5 (PTFE модифицированный), Сопротивление материалов. Сопромат. Строительные материалы. Физические, механические и теплотехнические свойства. Бетон. Бетонный раствор. Раствор. Строительная арматура. Стальная и прочая. Таблицы применимости материалов. Химическая стойкость. Температурная применимость. Коррозионная стойкость. Уплотнительные материалы — герметики соединений. PTFE (фторопласт-4) и производные материалы. Лента ФУМ. Анаэробные клеи Герметики невысыхающие (незастывающие). Герметики силиконовые (кремнийорганические). Графит, асбест, парониты и производные материалы Паронит. Терморасширенный графит (ТРГ, ТМГ), композиции. Свойства. Применение. Производство. Лен сантехнический Уплотнители резиновых эластомеров Утеплители и теплоизоляционные материалы. (ссылка на раздел проекта) Инженерные приемы и понятия Взрывозащита. Защита от воздействия окружающей среды. Коррозия. Климатические исполнения (Таблицы совместимости материалов) Классы давления, температуры, герметичности Падение (потеря) давления. — Инженерное понятие. Противопожарная защита. Пожары. Теория автоматического управления (регулирования). ТАУ Математический справочник Арифметическая, Геометрическая прогрессии и суммы некоторых числовых рядов. Геометрические фигуры. Свойства, формулы: периметры, площади, объемы, длины. Треугольники, Прямоугольники и т.д. Градусы в радианы. Плоские фигуры. Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д. Площади неправильных фигур, объемы неправильных тел. Средняя величина сигнала. Формулы и способы расчета площади. Графики. Построение графиков. Чтение графиков. Интегральное и дифференциальное исчисление. Табличные производные и интегралы. Таблица производных. Таблица интегралов. Таблица первообразных. Найти производную. Найти интеграл. Диффуры. Комплексные числа. Мнимая единица. Линейная алгебра. (Вектора, матрицы) Математика для самых маленьких. Детский сад — 7 класс. Математическая логика. Решение уравнений. Квадратные и биквадратные уравнения. Формулы. Методы. Решение дифференциальных уравнений Примеры решений обыкновенных дифференциальных уравнений порядка выше первого. Примеры решений простейших = решаемых аналитически обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Системы координат. Прямоугольная декартова, полярная, цилиндрическая и сферическая. Двухмерные и трехмерные. Системы счисления. Числа и цифры (действительные, комплексные, ….). Таблицы систем счисления. Степенные ряды Тейлора, Маклорена (=Макларена) и периодический ряд Фурье. Разложение функций в ряды. Таблицы логарифмов и основные формулы Таблицы численных значений Таблицы Брадиса. Теория вероятностей и статистика Тригонометрические функции, формулы и графики. sin, cos, tg, ctg….Значения тригонометрических функций. Формулы приведения тригонометрических функций. Тригонометрические тождества. Численные методы Оборудование — стандарты, размеры Бытовая техника, домашнее оборудование. Водосточные и водосливные системы. Емкости, баки, резервуары, танки. КИПиА Контрольно-измерительные приборы и автоматика. Измерение температуры. Конвейеры, ленточные транспортеры. Контейнеры (ссылка) Крепеж. Лабораторное оборудование. Насосы и насосные станции Насосы для жидкостей и пульп. Инженерный жаргон. Словарик. Просеивание. Фильтрация. Сепарация частиц через сетки и сита. Прочность примерная веревок, тросов, шнуров, канатов из различных пластиков. Резинотехнические изделия. Сочленения и присоединения. Диаметры условные, номинальные, Ду, DN, NPS и NB. Метрические и дюймовые диаметры. SDR. Шпонки и шпоночные пазы. Стандарты коммуникации. Сигналы в системах автоматизации (КИПиА) Аналоговые входные и выходные сигналы приборов, датчиков, расходомеров и устройств автоматизации. Интерфейсы подключения. Протоколы связи (коммуникации) Телефонная связь. Трубопроводная арматура. Краны, клапаны, задвижки…. Строительные длины. Фланцы и резьбы. Стандарты. Присоединительные размеры. Резьбы. Обозначения, размеры, использование, типы… (справочная ссылка) Соединения ("гигиенические", "асептические") трубопроводов в пищевой, молочной и фармацевтической промышленности. Трубы, трубопроводы. Диаметры труб и другие характеристики. Выбор диаметра трубопровода. Скорости потока. Расходы. Прочность. Таблицы выбора, Падение давления. Трубы медные. Диаметры труб и другие характеристики. Трубы поливинилхлоридные (ПВХ). Диаметры труб и другие характеристики. Трубы полиэтиленовые. Диаметры труб и другие характеристики. Трубы полиэтиленовые ПНД. Диаметры труб и другие характеристики. Трубы стальные (в т.ч. нержавеющие). Диаметры труб и другие характеристики. Труба стальная. Труба нержавеющая. Трубы из нержавеющей стали. Диаметры труб и другие характеристики. Труба нержавеющая. Трубы из углеродистой стали. Диаметры труб и другие характеристики. Труба стальная. Фитинги. Фланцы по ГОСТ, DIN (EN 1092-1) и ANSI (ASME). Соединение фланцев. Фланцевые соединения. Фланцевое соединение. Элементы трубопроводов. Электрические лампы Электрические разъемы и провода (кабели) Электродвигатели. Электромоторы. Электрокоммутационные устройства. (Ссылка на раздел) Стандарты личной жизни инженеров География для инженеров. Расстояния, маршруты, карты….. Инженеры в быту. Семья, дети, отдых, одежда и жилье. Детям инженеров. Инженеры в офисах. Инженеры и другие люди. Социализация инженеров. Курьезы. Отдыхающие инженеры. Это нас потрясло. Инженеры и еда. Рецепты, полезности. Трюки для ресторанов. Международная торговля для инженеров. Учимся думать барыжным образом. Транспорт и путешествия. Личные автомобили, велосипеды…. Физика и химия человека. Экономика для инженеров. Бормотология финансистов — человеческим языком. Технологические понятия и чертежи Бумага писчая, чертежная, офисная и конверты. Стандартные размеры фотографий. Вентиляция и кондиционирование. Водоснабжение и канализация Горячее водоснабжение (ГВС). Питьевое водоснабжение Сточная вода. Холодное водоснабжение Гальваническая промышленность Охлаждение Паровые линии / системы. Конденсатные линии / системы. Паропроводы. Конденсатопроводы. Пищевая промышленность Поставка природного газа Сварочные металлы Символы и обозначения оборудования на чертежах и схемах. Условные графические изображения в проектах отопления, вентиляции, кондиционирования воздуха и теплохолодоснабжения, согласно ANSI/ASHRAE Standard 134-2005. Стерилизация оборудования и материалов Теплоснабжение Электронная промышленность Электроснабжение Физический справочник Алфавиты. Принятые обозначения. Основные физические константы. Влажность абсолютная, относительная и удельная. Влажность воздуха. Психрометрические таблицы. Диаграммы Рамзина. Время Вязкость, Число Рейнольдса (Re). Единицы измерения вязкости. Газы. Свойства газов. Индивидуальные газовые постоянные. Давление и Вакуум Вакуум Длина, расстояние, линейный размер Звук. Ультразвук. Коэффициенты звукопоглощения (ссылка на другой раздел) Климат. Климатические данные. Природные данные. СНиП 23-01-99. Строительная климатология. (Статистика климатических данных) СНИП 23-01-99 .Таблица 3 — Средняя месячная и годовая температура воздуха, °С. Бывший СССР. СНИП 23-01-99 Таблица 1. Климатические параметры холодного периода года. РФ. СНИП 23-01-99 Таблица 2. Климатические параметры теплого периода года. Бывший СССР. СНИП 23-01-99 Таблица 2. Климатические параметры теплого периода года. РФ. СНИП 23-01-99 Таблица 3. Средняя месячная и годовая температура воздуха, °С. РФ. СНиП 23-01-99. Таблица 5а* — Среднее месячное и годовое парциальное давление водяного пара, гПа = 10^2 Па. РФ. СНиП 23-01-99. Таблица 1. Климатические параметры холодного времени года. Бывший СССР. Плотности. Веса. Удельный вес. Насыпная плотность. Поверхностное натяжение. Растворимость. Растворимость газов и твердых веществ. Свет и цвет. Коэффициенты отражения, поглощения и преломления Цветовой алфавит:) — Обозначения (кодировки) цвета (цветов). Свойства криогенных материалов и сред. Таблицы. Коэффициенты трения для различных материалов. Тепловые величины, включая температуры кипения, плавления, пламени и т.д …… дополнительная информация см.: Коэффициенты (показатели) адиабаты. Конвекционный и полный теплообмен. Коэффициенты теплового линейного расширения, теплового объемного расширения. Температуры, кипения, плавления, прочие… Перевод единиц измерения температуры. Воспламеняемость. Температура размягчения. Температуры кипения Температуры плавления Теплопроводность. Коэффициенты теплопроводности. Термодинамика. Удельная теплота парообразования (конденсации). Энтальпия парообразования. Удельная теплота сгорания (теплотворная способность). Потребность в кислороде. Электрические и магнитные величины Дипольные моменты электрические. Диэлектрическая проницаемость. Электрическая постоянная. Длины электромагнитных волн (справочник другого раздела) Напряженности магнитного поля Понятия и формулы для электричества и магнетизма. Электростатика. Пьезоэлектрические модули. Электрическая прочность материалов Электрический ток Электрическое сопротивление и проводимость. Электронные потенциалы Химический справочник "Химический алфавит (словарь)" — названия, сокращения, приставки, обозначения веществ и соединений. Водные растворы и смеси для обработки металлов. Водные растворы для нанесения и удаления металлических покрытий Водные растворы для очистки от нагара (асфальтосмолистого нагара, нагара двигателей внутреннего сгорания…) Водные растворы для пассивирования. Водные растворы для травления — удаления окислов с поверхности Водные растворы для фосфатирования Водные растворы и смеси для химического оксидирования и окрашивания металлов. Водные растворы и смеси для химического полирования Обезжиривающие водные растворы и органические растворители Водородный показатель pH. Таблицы показателей pH. Горение и взрывы. Окисление и восстановление. Классы, категории, обозначения опасности (токсичности) химических веществ Периодическая система химических элементов Д.И.Менделеева. Таблица Менделеева. Плотность органических растворителей (г/см3)в зависимости от температуры. 0-100 °С. Свойства растворов. Константы диссоциации, кислотности, основности. Растворимость. Смеси. Термические константы веществ. Энтальпии. Энтропии. Энергии Гиббса… (ссылка на химический справочник проекта) Электротехника Регуляторы Системы гарантированного и бесперебойного электроснабжения. Системы диспетчеризации и управления Структурированные кабельные системы Центры обработки данных

Треугольник — это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника часто обозначаются маленькими буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.

Остроугольным треугольником называется треугольник, у которого все три угла острые.

Тупоугольным треугольником называется треугольник, у которого один из углов тупой.

Прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого один из углов прямой, то есть равен 90°; стороны a, b, образующие прямой угол, называются катетами ; сторона c, противоположная прямому углу, называется гипотенузой .

Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две его стороны равны (a = c); эти равные стороны называются боковыми , третья сторона называется основанием треугольника .

Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого все его стороны равны (a = b = c). Если в треугольнике не равна ни одна из его сторон (abc), то это неравносторонний треугольник .

Основные свойства треугольников

В любом треугольнике:

Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Продолжая одну из сторон треугольника, получаем внешний угол. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним.

Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности (a < b + c, a > b — c; b < a + c, b > a — c; c < a + b, c > a − b).

Признаки равенства треугольников

Треугольники равны, если у них соответственно равны:

две стороны и угол между ними;

два угла и прилегающая к ним сторона;

три стороны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:

равны их катеты;

катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;

гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;

катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;

катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника . Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника .

Ортоцентр остроугольного треугольника расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника — снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Медиана — это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса — это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам.

Срединный перпендикуляр — это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанного круга.

В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника, в тупоугольном — снаружи, в прямоугольном — в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Доказательство теоремы Пифагора

Построим квадрат AKMB, используя гипотенузу AB как сторону. Затем продолжим стороны прямоугольного треугольника ABC так, чтобы получить квадрат CDEF, сторона которого равна a + b. Теперь ясно, что площадь квадрата CDEF равна (a + b) 2. С другой стороны, эта площадь равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников и квадрата AKMB, то есть,

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

c 2 + 2 ab = (a + b) 2,

и окончательно имеем:

c 2 = a 2 + b 2 .

Соотношение сторон в произвольном треугольнике

В общем случае (для произвольного треугольника) имеем:

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab * cos C,

где С — угол между сторонами а и b.

• school-club.ru — какие бывают треугольники?
• math.ru — виды треугольников;
• raduga.rkc-74.ru — все о треугольниках для самых маленьких.