Ноль сам по себе цифра очень интересная. Сам по себе означает пустоту, отсутствие значения, а рядом с другой цифрой увеличивает ее значимость в 10 раз. Любые числа в нулевой степени всегда дают 1. Этот знак использовали еще в цивилизации майя, причем он у них еще обозначал понятие «начало, причина». Даже календарь у начинался с нулевого дня. А еще эта цифра связана со строгим запретом.
Еще с начальных школьных лет все мы четко усвоили правило «на ноль делить нельзя». Но если в детстве многое воспринимаешь на веру и слова взрослого редко вызывают сомнения, то со временем иногда хочется все-таки разобраться в причинах, понять, почему были установлены те или иные правила.
Почему нельзя делить на ноль? На этот вопрос хочется получить понятное логическое объяснение. В первом классе учителя это сделать не могли, потому как в математике правила объясняются с помощью уравнений, а в том возрасте мы и представления не имели о том, что это такое. А теперь пришла пора разобраться и получить понятное логическое объяснение того, почему нельзя делить на ноль.
Дело в том, что в математике лишь две из четырех основных операций (+, - , х, /) с числами признаются независимыми: умножение и сложение. Остальные же операции принято считать производными. Рассмотрим простенький пример.
Вот скажите, сколько получится, если от 20 отнять 18? Естественно, в нашей голове моментально возникает ответ: это будет 2. А как мы пришли к такому результату? Кому-то этот вопрос покажется странным - ведь и так все ясно, что получится 2, кто-то пояснит, что от 20 копеек отнял 18 и у него получилось две копейки. Логически все эти ответы не вызывают сомнений, однако с точки зрения математики решать эту задачу следует по-другому. Еще раз напомним, что главными операциями в математике являются умножение и сложение и поэтому в нашем случае ответ кроется в решении следующего уравнения: х + 18 = 20. Из которого и вытекает, что х = 20 - 18, х =2. Казалось бы, зачем так подробно все расписывать? Ведь и так все элементарно просто. Однако без этого тяжело объяснить почему нельзя делить на ноль.
А теперь посмотрим что получится если мы пожелаем 18 разделить на ноль. Снова составим уравнение: 18: 0 = х. Поскольку операция деления является производной от процедуры умножения, то преобразовав наше уравнение получим х * 0 = 18. Вот здесь как раз и начинается тупик. Любое число на месте икса при умножении на ноль даст 0 и получить 18 нам никак не удастся. Теперь становится предельно ясно почему нельзя делить на ноль. Сам ноль можно делить на какое-угодно число, а вот наоборот - увы, никак нельзя.
А что получится, если ноль разделить на самого себя? Это можно записать в таком виде: 0: 0 = х, или х * 0 = 0. Это уравнение имеет бесчисленное число решений. Поэтому в итоге получается бесконечность. Поэтому операция и в этом случае тоже не имеет смысла.
Деление на 0 лежит в корне многих мнимых математических шуток, которыми при желании можно озадачить любого несведущего человека. К примеру, рассмотрим уравнение: 4*х - 20 = 7*х - 35. Вынесем за скобки в левой части 4, а в правой 7. Получим: 4*(х - 5) = 7*(х - 5). Теперь умножим левую и правую часть уравнения на дробь 1 / (х - 5). Уравнение примет такой вид: 4*(х - 5)/(х - 5) = 7*(х - 5)/ (х - 5). Сократим дроби на (х - 5) и у нас выйдет, что 4 = 7. Из этого можно сделать вывод, что 2*2 = 7! Конечно, подвох здесь в том, что равен 5 и сокращать дроби было нельзя, поскольку это приводило к делению на ноль. Поэтому при сокращении дробей нужно всегда проверять чтобы ноль случайно не оказался в знаменателе, иначе результат получится совсем непредсказуемым.
"Делить на ноль нельзя! " - большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое "Нельзя" и что будет, если в ответ на него спросить: "почему? А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.
Всё дело в том, что четыре действия арифметики - сложение, вычитание, умножение и деление - на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них - сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.
Мы рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 - 3? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики на эту задачу совсем по-другому смотрят. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 - 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5. то есть 5 - 3 - это просто сокращенная запись уравнения: x 3 = 5. в этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача - найти подходящее число.
Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8: 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности, это просто сокращенная форма записи уравнения 4 * x = 8.
Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5: 0 - это сокращение от 0 * x = 5. то есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.
Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5: 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает, и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.
Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 * x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0, и тогда получаем 0 * 0 = 0. выходит, 0: 0=0? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1. получим 0 * 1 = 0. правильно? Значит, 0: 0 = 1? Но ведь так можно взять любое число и получить 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 и т. д.
Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0: 0. а раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 * x = 0; в таких случаях математики говорят о "Раскрытии Неопределенности", но в арифметике таких случаев не встречается. Вот такая особенность у операции деления есть. А точнее - у операции умножения и связанного с ней числа ноль.
Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас, в первую очередь, будут учить именно этому.
В школе нас всех учат простому правилу, что делить на ноль нельзя. При этом, когда мы задаем вопрос: «Почему?», нам отвечают: «Это просто правило и его надо знать». В этой статье я постараюсь вам объяснить, почему нельзя делить на ноль. Почему не правы те люди, которые говорят, что на ноль делить можно и тогда получится бесконечность.
Почему нельзя делить на ноль?
Формально, в математике, существует только два действия. Сложение и умножение чисел. Ну что же тогда с вычитанием и делением? Рассмотрим такой пример. 7-4=3, все мы знаем, что семь минус четыре будет равняться трём. На самом деле этот пример можно, формально, рассматривать, как способ решить уравнения x+4=7. То есть, мы подбираем такое число, которое в сумме с четверкой даст 7. Тогда мы не долго подумаем и поймем, что это число равно трём. То же самое с делением. Допустим 12/3. Это будет то же самое, что и х*3=12.
Мы подбираем такое число, которое при умножении на 3 даст нам 12. В данном случаем это получится четыре. Это достаточно очевидно. Что же с примерами вида 7/0. Что будет если мы запишем семь делить на ноль? Это значит, что мы, как будто, решаем уравнение вида 0*х=7. Но это уравнение не имеет решения, ведь если ноль умножить на любое число, то получиться всегда ноль. То есть решения нет. Это записывают либо словами решений нет, либо значком, который означает пустое множество.
Другими словами
Вот смысл этого правила. Делить на ноль нельзя, потому что соответствующее уравнение, ноль умножить на икс равное семи или любому числу, которое мы пытаемся делить на ноль, не имеет решений. Самые внимательные могут сказать, что если мы поделим ноль на ноль, то получится достаточно справедливо, что, если 0*X=0. Все замечательно, ноль умножаем на какое-то число, получаем ноль. Но тогда у нас решением может быть любое число. Если мы посмотрим х=1, 0*1=0, х=100500, 0*100500=0. Здесь подойдет любое число.
Так почему мы должны выбирать какое-то одно из них? У нас действительно нет каких-то соображений, по которым мы можем взять из этих чисел выбрать одно и сказать, что это решения уравнений. Поэтому решений бесконечно много и это тоже неоднозначная задача, в которой считается, что решений нет.
Бесконечность
Выше я рассказал вам причины, по которым делить нельзя, теперь хочу поговорить с вами о . Давайте попробуем с осторожностью подойти к операции деления на ноль. Поделим число 5 сначала на два. Мы знаем, что получится десятичная дробь 2.5. Теперь уменьшим делитель и поделим 5 на 1, будет 5. Теперь 5 мы поделим на 0,5. Это то же самое, что и пять поделим на одну вторую, или то же самое, что и 5*2, то будет 10. Обратите внимание, результат деления, то есть частное, увеличивается: 2,5, 5, 10.
Теперь давайте поделим 5 на 0.1, это будет то же самое, что и 5*10=50, частная снова увеличилась. При этом делитель мы уменьшали. Если мы поделим 5 на 0.01, это будет, то же самое, что и 5*100=500. Смотрите. Чем меньше мы делаем делитель, тем больше становится частное. Если мы 5 поделим на 0.00001, получиться 500000.
Подведем итог
Что же тогда такое деление на ноль, если смотреть вот в этом смысле? Заметим, как мы уменьшали наше частное? Если нарисовать ось, то на ней видно, что у нас сначала была двойка, потом единичка, потом 0.5, 0.1, и так далее. Мы приближались к нолю все ближе и ближе справа, но до ноля мы так и не дошли. Берем все меньше и меньше число и делим на него наше частное. Становится все больше и больше. В данном случае пишут, что мы делим 5 на Х, где икс бесконечно мал. То есть он становиться все ближе и ближе к нолю. Вот как раз-таки в этом случае при делении пятерки на Х мы получим бесконечность. Бесконечно большое число. Здесь возникает нюанс.
Если мы приближаемся к нолю справа, то это бесконечно мало у нас будет положительным, и мы получаем плюс бесконечность. Если же мы приближаемся к иксу слева, то есть если мы сначала поделим на -2, потом на -1, на -0.5, на -0.1 и так далее. У нас будет получаться отрицательное частное. И тогда пять деленное на икс, где икс будет бесконечно малым, но уже слева, будет равно минус бесконечности. В данном случае пишут: икс стремится к нолю справа, 0+0, показывая, что к нолю мы стремимся справа. Допустим если мы к тройке стремились справа, в данном случае пишут икс стремится слева. Соответственно к тройке мы бы стремились слева, записывая это как икс стремится к 3-0.
Как график функций может помочь
Понять это лучше помогает график функции, который мы проходили еще все в школе. Функция называется обратная зависимость, а график её это гипербола. Выглядит гипербола следующим образом. Это кривая, асимптотами которой являются ось икс и игрек. Асимптота-это прямые, к которым кривая стремится, но никогда их не достигнет. Такая вот математическая драма. Мы видим, что чем ближе мы подходим к нолю, тем больше становится наше значение игрек. Чем меньше становится икс, то есть, при стремлении, иксе к нолю справа игрек становиться все больше и больше, и устремляется в плюс бесконечность. Соответственно, при стремлении к нолю слева, когда икс стремится к нолю слева, т.е икс стремиться к 0-0, игрек стремится у нас к минус бесконечности. По-правильному это записывается так. Игрек стремится к минус бесконечности, при Х стремящимся к нолю слева. Соответственно мы запишем игрек стремится к плюс бесконечности, при иксе стремящимся к нолю справа. То есть, по сути, мы не делим на ноль, мы делим на бесконечно малую величину.
И те, кто говорят, что делить на ноль можно, мы просто получим бесконечность, они просто имею в виду, что делить можно не на ноль, а можно делить на число близкое к нолю, то есть на бесконечно малую величину. Тогда мы получим плюс бесконечность, если мы делим на бесконечно малое положительное и минус бесконечность мы делим на бесконечно малое отрицательное.
Я надеюсь, что эта статья помогла вам разобраться в вопросе, который мучает большинство с детства, почему же нельзя делить на ноль. Почему нас заставляют учить какое-то правило, а ничего не объясняют. Надеюсь статья помогла вам разобраться в том, что действительно на ноль делить нельзя, а те, кто говорят, что на ноль делиться можно, на самом деле имеют в виду, что можно делить на бесконечно малую величину.
Одним из самых первых правил, которое изучается в школе, является запрет деления на нуль. Почему нельзя делить на ноль? Это аксиома, которая появилась в элементарной алгебре. Ее изучают в общеобразовательных школах.
Со школьной скамьи до сих пор осталось предубеждение, что нельзя, хотя почему так - никто толком объяснить не может. Для понимания этого математического действия необходимо сначала разобраться в одном вопросе: что представляет собой бесконечность?
Понятие математической бесконечности
Это одна из категорий человеческого мышления, которая применяется для определения беспредельных, безграничных явлений, процессов и чисел. Математическая бесконечность представляет собой такую величину, которую теоретически и практически невозможно вычислить .
Все довольно прозаично: если число, которое делится на все меньшее и меньшее, то результатом будет являться большее значение. Чем оно меньше, тем больше значение. Чем больше разница между делимым и делителем, тем большим будет частное. Именно такую природу имеет бесконечность в математике.
Таким образом, если делитель стремиться к нолику, то конечное значение частного будет близко к бесконечности. А в случае, когда делитель будет нуль, то конечный результат вычисления будет эта самая "безмерность". Не сверхбольшое значение, не миллиарды миллионов, а бесконечность.
Поскольку до сих пор нет определения этой величины (если вообще она имеется), то физики и математики условно приняли, что делить на нолик нельзя. Не имеет смысла. Это самый простой ответ на наш вопрос. А для тех, кто не разобрался, постараемся рассказать подробнее.
Простейшие операции с числами
Из школьного курса математики все помнят, что существует четыре простейшие операции: умножение, деление, сложение и вычитание. Эти операции являются неравнозначными. У умножения и деления приоритет перед прибавлением и отниманием и так далее. Из математики следует, что основными операциями с числами становятся сложение и вычитание, а все остальные (в том числе и производные, и интегралы, и логарифмы) являются производными.
Для примера рассмотрим вычитание. Чтобы решить пример "10 - 7 = ...", необходимо из десяти единиц вычесть семь, а результат вычисления будет ответом. Поскольку сложение по релевантности стоит выше, то пример должен рассматриваться через правила сложения. Мы имеем такой вид примера: "Х + 7 = 10". Другими словами, к какой цифре необходимо добавить семь, чтобы получить десять?
Аналогично с делением. Выражение "10: 2 = ...." будет производным от выражения "2 Х = 10". Иначе говоря, что необходимо взять два раза, чтобы получить в итоге десять? Ответ очевиден. Теперь мы рассмотрим такой же пример, только с ноликом. Возьмем выражение "10: 0 = ...". Его обратная бинарная операция будет иметь вид "0 Х = 10". Тут мы видим ответ. Что надо умножить на "ничего" (в элементарной алгебре), чтобы в итоге получилось десять? Известно, что если ноль умножить на любую другую величину, то мы будем иметь "ничего". Числа, которое может давать другой конечный результат операции, попросту не существует.
Итогом является невозможность решения.
Почему умножать на нуль можно?
Почему нельзя делать на ноль, а умножать можно? Грубо говоря, именно с этого вопроса начинается вся высшая математика. Узнать ответ можно только тогда, когда появится возможность тщательно изучить формальные математические определения про манипуляции над математическими множествами.
Это не является большой сложностью. В университетах на начальных курсах проходят в первую очередь данную тему. Поэтому те, кто серьезно заинтересовался данным вопросом, могут проштудировать пару учебников по уравнениям с параметрами, линейным функциям и так далее.
Нестандартные приемы запретного деления
И наконец для тех, кто все-таки дочитал до этого места и решил получить окончательный ответ, мы приведем примеры тех случаев, когда можно делить на ноль.
На самом деле, все действия с числами в общей математике возможны. Можно даже доказать, что 1 = 2. Как, спросите вы? Совершенно просто. Путем простейших математических операций на уровне 7 класса:
Х 2 - Х 2 = Х 2 - Х 2
Х (Х - Х) = (Х + Х) (Х - Х)
А теперь рассмотрим основные теории, которые предполагают деление на "ничего".
Нестандартный анализ
Для самых неуемных специально придумали гипердействительные числа в нестандартном анализе. Согласно данной теории, имеются значения, которые не равны нулю, но в то же время являются самыми наименьшими действительными числами по модулю. Сложно? Вы же сами искали ответ.
Теория функций комплексной переменной
Расширенная комплексная плоскость позволяет делить на нуль. Это обусловлено тем, что бесконечность в ней - это не предельно-недостижимая величина, а конкретная точка на пространстве, которую можно увидеть в стереографической проекции.
Таким образом, можно сделать вывод: делить на нуль все-таки можно. Но не в пределах школьной математики. Надеемся, что мы смогли ответить на ваш вопрос. А в будущем вы сможете каждому объяснить эти математические хитросплетения самостоятельно.